Enigma de las 12 bolas

Enigma:

Si cuentas con 12 pelotas ópticamente idénticas, pero una de ellas es de masa distinta, cómo lograría identificarla usando sólo una balanza con un máximo de 3 “pesadas”?

Esta es mi manera de hacerlo:

1ra Pesada:

Divido el grupo de 12 bolas en cuatro de 3 bolas cada uno: A, B, C y D y comparo dos grupos. Ejemplo: A y B

Las posibilidades serían:

A = B     o     A ≠ B

Si A = B entonces la bola distinta está en C o D, si A ≠ B entonces en esos dos grupos estará la distinta. En este paso aseguramos cuales 6 bolas son normales y en qué grupo de 6 está la distinta.

2da Pesada:

Podremos asegurar  que la bola distinta está en los grupos A y B (o en el C y D) pero dependiendo de si la primera medición fue igual o desigual (distinta) seguiremos a continuación:

Si la 1ra pesada fue desigual, entonces comparamos el grupo A con el Grupo C que sabemos es normal y registramos el movimiento de la balanza:

Si la balanza se iguala, pues la distinta está en B y será más pesada o ligera si el plato donde estaba B en la primera pesada estuvo abajo o arriba respectivamente. Comparando 2 bolas entre sí de este grupo podremos identificar la distinta a sabiendas que: si las pesadas son iguales pues la distinta es la que no se pesó y si son desiguales será la que se comporta como se comportó el grupo al cual pertenece en la segunda pesada.

Si la balanza se mantiene desnivelada pues la distinta estará en A y será más pesada o ligera si el plato donde esta A está abajo o arriba respectivamente; la diferenciación de la distinta será similar al paso final del párrafo anterior.

Si la primera pesada fue Igual pues nos faltaría determinar si la distinta es más pesada que las normales o no. Para eso deberemos hacer lo siguiente:

Reorganizamos los grupos de 3 bolas a grupos de 4 bolas que incluirá las 3

Ok… Acabo de notar que con el sistema descrito no se logra resolver en todas las situaciones…

Pero ya encontré cómo hacerlo. Vamos a verificarlo:

1ra Pesada:

Divido el grupo de 12 bolas en 3 grupos de 4, siendo: A, B y C. Se comparan masas de dos de estos grupos, ejemplo: A y B. El resultado puede ser iguales o desiguales y se procederá según el caso:

Si son Iguales todo es más sencillo. Podremos asegurar que la distinta está en C y con dos pesadas más por hacer comparamos 2 bolas de C con 2 de A o B y si son iguales podremos asegurar que la distinta está en las otras 2 bolas de C que las diferenciaremos comparando una de ellas con una de A o B siendo que si la última medición es igual la que no hemos pesado de C es la distinta y si la medición es distinta pues esta bola de C usada en esta última medición es la distinta.

Si son distintas hay que elaborar las siguientes mediciones reagrupando los grupos de la siguiente manera:

Compararemos dos grupos de 4 bolas que se formarán así: grupo 1 conformado por A1, A2, B2 y B3; grupo 2 B1, A3, C1 y C2 quedando fuera de la medición las bolas A4 y B4… Se procede a comparar los grupos 1 y 2 prestando atención al movimiento de la balanza:

Si la balanza se iguala pues la distinta estaría entre A4 y B4, podremos diferenciar la distinta comparando cualquiera de ellas con una normal, si es igual la distinta es la otra y si es distinta la medición pues la usada en la medición es la distinta.

Si la balanza no se mueve pues la distinta está entre las que no se movieron desde la primera pesada, es decir: A1, A2 y B1. Para diferenciar la distinta habría que pesar A1 y A2, de ser iguales la distinta es B1 y de ser desigual la pesada pues la distinta será la del platillo de comportamiento similar al del grupo 1

Si la balanza invierte la desigualdad al otro lado pues la distinta estará entre las que cambiamos de lado, es decir, B2, B3 o A3. Para identificar la distinta basta con comparar B2 y B3, si la balanza ice igual pues la distinta es A3 pero si es desigual pues la distinta será la del platillo de comportamiento similar al grupo 1 en la segunda pesada.

Listo…